La chaîne à deux états, en toute généralité

La chaîne à deux états, en toute généralité. Soient $a$ et $b$ deux réels de $]0,1[$. On considère la chaîne de Markov à deux états $1$ et $2$ de matrice de transition $P=\left(\begin{array}{cc}1-a& a\\ b& 1-b\end{array}\right)$, et l'on note ${\pi }_n=(p_n,1-p_n)$ la distribution à l'étape $n$.

• Montrer que la chaîne admet une unique distribution invariante, égale à $\left(\frac{b}{a+b},\frac{a}{a+b}\right)$.
• Montrer que $p_{n+1}=(1-a-b)p_n+b$, puis que $p_n-\frac{b}{a+b}=(1-a-b{)}^n\left(p_0-\frac{b}{a+b}\right)$. En déduire la limite de $(p_n)$.
• Application (données fictives) : chaque mois, $20\%$ des clients d'un opérateur le quittent, et $5\%$ des autres habitants y souscrivent. Quelle part de la population sera cliente à long terme ? Quel taux de départ mensuel faudrait-il, sans changer le taux de souscription, pour que cette part atteigne $40\%$ ?