mathématiques expertes (terminale) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Matrice de transition

Graphes et Matrices · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Matrice de transition.

Chaque jour, un standard téléphonique est soit opérationnel (état O), soit en panne (état P). S'il est opérationnel un jour, il l'est encore le lendemain avec probabilité $0, 9$ ; s'il est en panne, il est réparé pour le lendemain avec probabilité $0, 6$ .

Dessiner le graphe pondéré et écrire la matrice de transition $P$ (états dans l'ordre O, P).
Le lundi, le standard est opérationnel ( $π_{0} = (1, 0)$ ). Calculer la distribution $π_{2}$ du mercredi.

Corrigé

Depuis O : $0, 9$ vers O, $0, 1$ vers P ; depuis P : $0, 6$ vers O, $0, 4$ vers P :

$P = (0, 9 0, 6 0, 1 0, 4)$

$π_{1} = π_{0} P = (0, 9, 0, 1)$ , puis :

$π_{2} = π_{1} P = (0, 9 \times 0, 9 + 0, 1 \times 0, 6, 0, 9 \times 0, 1 + 0, 1 \times 0, 4) = (0, 87, 0, 13)$

Le mercredi, le standard est opérationnel avec probabilité $0, 87$ .

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