Problème — Étude complète d'une chaîne à deux états

Graphes et Matrices · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Étude complète d'une chaîne à deux états.

Dans une ville, on étudie l'abonnement à un service de vélos en libre-service. Chaque année, $30 %$ des abonnés ne renouvellent pas, tandis que $10 %$ des non-abonnés s'abonnent. En 2026, $20 %$ des habitants sont abonnés. On note $a_{n}$ la proportion d'abonnés l'année $2026 + n$ et $π_{n} = (a_{n}, 1 - a_{n})$ .

Écrire la matrice de transition $P$ (états : abonné, non abonné) et vérifier $π_{n + 1} = π_{n} P$ .
En déduire que $a_{n + 1} = 0, 6 a_{n} + 0, 1$ .
Déterminer la limite de $(a_{n})$ et la distribution invariante de la chaîne.

Corrigé

Un abonné reste abonné avec probabilité $0, 7$ ; un non-abonné devient abonné avec probabilité $0, 1$ :

$P = (0, 7 0, 1 0, 3 0, 9)$

La première composante de $π_{n} P$ vaut $0, 7 a_{n} + 0, 1 (1 - a_{n})$ : c'est bien la proportion d'abonnés de l'année suivante (renouvellements + nouveaux abonnés), donc $π_{n + 1} = π_{n} P$ .

De ce calcul : $a_{n + 1} = 0, 7 a_{n} + 0, 1 - 0, 1 a_{n} = 0, 6 a_{n} + 0, 1$ .
C'est une suite arithmético-géométrique : le point fixe vérifie $ℓ = 0, 6 ℓ + 0, 1$ , d'où $ℓ = 0, 25$ . La suite $v_{n} = a_{n} - 0, 25$ est géométrique de raison $0, 6 \in] - 1, 1 [$ , donc $v_{n} \to 0$ et :

$n \to + \infty lim a_{n} = 0, 25$

La distribution invariante est $π = (0, 25, 0, 75)$ (on vérifie : $0, 7 \times 0, 25 + 0, 1 \times 0, 75 = 0, 25$ ) : à long terme, un quart des habitants sont abonnés, quelle que soit la situation initiale.