Problème — Marche aléatoire sur un triangle

• De chaque sommet, le pion va vers chacun des deux autres avec probabilité $\frac{1}{2}$ (et jamais ne reste) :

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$$

• ${\pi }_1={\pi }_{0}P=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$, puis :

$${\pi }_2={\pi }_{1}P=\left(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)\text{... deˊtaillons :}$$

composante 1 : $0\times 0+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ; composante 2 : $0\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 0+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ ; composante 3 : $\frac{1}{4}$ par symétrie.

$${\pi }_2=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$$

• Chaque composante de $\pi P$ vaut $\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$ : on a bien $\pi P=\pi$. À long terme, le pion est équiréparti sur les trois sommets.