Problème — Suites couplées et matrices

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques expertes (terminale), chapitre 4 — Graphes et Matrices

Énoncé

Problème — Suites couplées et matrices.

Deux bassins A et B contiennent au total 1000 litres d'eau. Chaque heure, $20 %$ du contenu de A est transféré vers B, et $30 %$ du contenu de B est transféré vers A. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ les volumes (en litres) dans A et B après $n$ heures, avec $a_{0} = 1000$ et $b_{0} = 0$ , et $U_{n} = (a_{n} b_{n})$ .

Justifier que $U_{n + 1} = M U_{n}$ avec $M = (0, 8 0, 2 0, 3 0, 7)$ .
Vérifier que la somme $a_{n} + b_{n}$ est constante.
Déterminer l'état stable (le vecteur $K$ tel que $K = M K$ avec $a + b = 1000$ ) et interpréter.

Corrigé

Après une heure, le bassin A garde $80 %$ de son contenu et reçoit $30 %$ de celui de B : $a_{n + 1} = 0, 8 a_{n} + 0, 3 b_{n}$ . De même $b_{n + 1} = 0, 2 a_{n} + 0, 7 b_{n}$ . Sous forme matricielle, $U_{n + 1} = M U_{n}$ avec la matrice annoncée.
En sommant les deux relations :

$a_{n + 1} + b_{n + 1} = (0, 8 + 0, 2) a_{n} + (0, 3 + 0, 7) b_{n} = a_{n} + b_{n}$

Le volume total est conservé : $a_{n} + b_{n} = 1000$ pour tout $n$ .

Cherchons $K = (a b)$ tel que $M K = K$ et $a + b = 1000$ :

$0, 8 a + 0, 3 b = a ⟺ 0, 3 b = 0, 2 a ⟺ b = \frac{2}{3} a$

Avec $a + \frac{2}{3} a = 1000$ : $a = 600$ et $b = 400$ . L'état stable est $K = (600400)$ : les volumes se stabilisent vers 600 L dans A et 400 L dans B (et l'on peut montrer que $U_{n} \to K$ car la suite $V_{n} = U_{n} - K$ vérifie $V_{n + 1} = M V_{n}$ avec des transferts qui « contractent » l'écart).

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.