Puissances d'une matrice diagonale

$D^2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$, $D^3=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 27\end{array}\right)$ : on conjecture $D^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 3^n\end{array}\right)$. Récurrence : vrai pour $n=1$. Si $D^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 3^n\end{array}\right)$, alors :

$$D^{n+1}=D^{n}D=\left(\begin{array}{cc}{2}^n\times 2& 0\\ 0& 3^n\times 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{n+1}& 0\\ 0& 3^{n+1}\end{array}\right)$$

La propriété est héréditaire : elle vaut pour tout $n\ge 1$. (Les puissances d'une matrice diagonale se calculent coefficient par coefficient.)