Suite de matrices colonnes

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques expertes (terminale), chapitre 4 — Graphes et Matrices

Énoncé

Suite de matrices colonnes.

Soit la suite de matrices colonnes définie par $U_{0} = (10)$ et $U_{n + 1} = A U_{n}$ avec $A = (1012)$ . Calculer $U_{1}$ , $U_{2}$ , $U_{3}$ , puis conjecturer $U_{n}$ .

Corrigé

$U_{1} = (10), U_{2} = (10), U_{3} = (10)$

En effet $A U_{0} = (1 \times 1 + 1 \times 0 0 \times 1 + 2 \times 0) = (10) = U_{0}$ : le vecteur $U_{0}$ est invariant par $A$ ( $U_{0}$ est un « vecteur propre » de $A$ pour la valeur 1). On conjecture — et on vérifie immédiatement par récurrence — que $U_{n} = U_{0}$ pour tout $n$ .

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