Une chaîne de Markov à trois états

Une chaîne de Markov à trois états. On modélise la météo d'une ville par une chaîne de Markov à trois états : ensoleillé ($S$), nuageux ($N$), pluvieux ($P$), pris dans cet ordre. Les probabilités de transition d'un jour au suivant sont fictives et données par la matrice

$$M=\left(\begin{array}{ccc}0,5& 0,3& 0,2\\ 0,1& 0,7& 0,2\\ 0,1& 0,3& 0,6\end{array}\right)$$

• Que vaut la probabilité qu'un jour pluvieux soit suivi d'un jour ensoleillé ? Vérifier que $M$ est bien une matrice de transition.
• Le jour $0$ est ensoleillé : ${\pi }_0=(1,0,0)$. Calculer ${\pi }_1$ et ${\pi }_2$.
• Déterminer la distribution invariante $\pi =(a,b,c)$ de la chaîne et l'interpréter.