Une relation qui donne l'inverse et les puissances

Une relation qui donne l'inverse et les puissances. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right)$ et on note $I$ la matrice identité d'ordre $2$.

• Calculer $A^2$ et vérifier que $A^2=3A-2I$.
• En déduire que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ en fonction de $A$ et $I$. Contrôler avec la formule du déterminant.
• Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\ge 0$ :

$$A^n=\left(2^n-1\right)A+\left(2-2^n\right)I$$

• En déduire les coefficients de $A^n$, puis écrire $A^{10}$.