Des classes de largeurs inégales

1. L'âge moyen. On remplace chaque classe par son centre : $5$, $15$, $30$ et $60$. $$\bar{x}=\frac{50\times 5+150\times 15+200\times 30+100\times 60}{500}=\frac{250+2250+6000+6000}{500}=\frac{14500}{500}=29\text{ans}.$$

2. Les effectifs ramenés à $10$ ans. Les classes n'ont pas toutes la même largeur : $10$, $10$, $20$ et $40$ ans. On divise donc chaque effectif par le nombre de tranches de $10$ ans que contient sa classe :

$$\begin{array}{ccccc}\text{classe}& [0;10[& [10;20[& [20;40[& [40;80[\\ \text{effectif}& 50& 150& 200& 100\\ \text{largeur (en dizaines)}& 1& 1& 2& 4\\ \text{effectif par 10 ans}& 50& 150& 100& 25\end{array}$$

Ce que cela révèle. En effectif brut, la classe $[20;40[$ est la plus nombreuse ($200$ spectateurs). Mais ramenée à une même largeur, c'est la classe $[10;20[$ qui est de loin la plus dense ($150$ contre $100$). Le public est donc surtout adolescent, ce que le seul effectif brut masquait.

C'est pourquoi, dans un histogramme à classes inégales, ce sont les aires des rectangles — et non leurs hauteurs — qui doivent être proportionnelles aux effectifs.

3. La médiane. L'effectif total est $N=500$, donc $\frac{N}{2}=250$. Les effectifs cumulés croissants valent $50$, $200$, $400$, $500$ : le cumul franchit $250$ dans la classe $[20;40[$, qui est donc la classe médiane.

Cette classe contient $200$ spectateurs sur une largeur de $20$ ans, et il faut y chercher $250-200=50$ personnes : $$M\approx 20+\frac{50}{200}\times 20=20+5=25\text{ans}.$$

Lecture. La médiane ($25$ ans) est nettement inférieure à la moyenne ($29$ ans) : les spectateurs les plus âgés, peu nombreux mais très dispersés jusqu'à $80$ ans, tirent la moyenne vers le haut.