Deux groupes, une seule moyenne

1. La moyenne d'un groupe est le quotient de la somme de toutes les notes par l'effectif. On reconstitue chaque somme :

somme des notes des filles : $12\times 13=156$ ;

somme des notes des garçons : $18\times 11=198$.

L'effectif total est $12+18=30$, et la somme totale $156+198=354$. D'où $$\bar{x}=\frac{354}{30}=11,8.$$ La moyenne de la classe est $11,8$.

2. La demi-somme $\frac{13+11}{2}$ traiterait les deux groupes comme s'ils avaient le même effectif. Or ils n'en ont pas : il y a $18$ garçons pour $12$ filles. La moyenne d'ensemble est une moyenne pondérée, où chaque groupe pèse à hauteur de son effectif : $$\bar{x}=\frac{12\times 13+18\times 11}{12+18}.$$ Le groupe le plus nombreux étant celui dont la moyenne est la plus basse, la moyenne de la classe est tirée vers le bas : $11,8$ est bien inférieure à $12$.

3. Notons $n$ le nombre de garçons cherché. La moyenne de la classe s'écrit $$\frac{12\times 13+n\times 11}{12+n}=\frac{156+11n}{12+n}.$$ On résout, sachant que $12+n$ est strictement positif : $$\frac{156+11n}{12+n}=12⟺156+11n=12(12+n)⟺156+11n=144+12n.$$ D'où $156-144=12n-11n$, c'est-à-dire $n=12$.

Il faudrait $12$ garçons, c'est-à-dire autant que de filles : on retrouve alors la demi-somme $\frac{13+11}{2}=12$ évoquée à la question précédente.

Vérification : avec $12$ filles et $12$ garçons, la somme des notes vaut $156+12\times 11=156+132=288$, pour $24$ élèves, soit $\frac{288}{24}=12$.