Le patron qui rejoint la série des salaires

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 10 — Information chiffrée et statistique descriptive · Écart type et robustesse des indicateurs

Énoncé

Les salaires mensuels, en euros, des cinq employés d'une petite entreprise sont $1800; 1900; 2000; 2100; 2 200.$

Calculer la moyenne et la médiane.
Le patron, qui gagne $12000$ €, est ajouté à la série. Recalculer la moyenne et la médiane.
Lequel des deux indicateurs résiste le mieux ? Lequel décrit le mieux la situation des employés ?

Corrigé

1. La série de départ. L'effectif est $N = 5$ . $x ˉ = \frac{1 800 + 1 900 + 2 000 + 2 100 + 2 200}{5} = \frac{10 000}{5} = 2 000.$ La moyenne vaut donc $2000$ €. $N$ est impair, donc la médiane est la valeur de rang $\frac{5 + 1}{2} = 3$ : $M = 2 000.$ La médiane vaut elle aussi $2000$ €. Les deux indicateurs coïncident : la série est parfaitement symétrique.

2. Avec le patron. La série devient $1800; 1900; 2000; 2100; 2200; 12000$ , d'effectif $6$ .

La moyenne : $x ˉ^{'} = \frac{10 000 + 12 000}{6} = \frac{22 000}{6} \approx 3666, 67,$ soit environ $3667$ €.

La médiane : $N = 6$ est pair, on prend la moyenne des valeurs de rangs $3$ et $4$ : $M^{'} = \frac{2 000 + 2 100}{2} = 2050,$ soit $2050$ €.

3. Les deux comportements. La moyenne a bondi de $2000$ à environ $3667$ €, soit une hausse de plus de $83$ %, alors qu'aucun employé ne gagne autant. La médiane, elle, n'est passée que de $2000$ à $2050$ €, soit $2, 5$ %.

Conclusion. La médiane est robuste : elle ne dépend que du rang des valeurs, pas de leur taille, et une valeur extrême ne peut la déplacer que d'un cran. La moyenne, qui additionne les valeurs elles-mêmes, est très sensible aux valeurs extrêmes.

Pour décrire ce que gagnent les employés, la médiane $2050$ € est donc bien plus honnête que la moyenne $3667$ €.

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