Médiane et quartiles estimés par interpolation

1. Les effectifs cumulés croissants.

$$\begin{array}{ccccc}\text{salaire}<& 1800& 2100& 2400& 2700\\ \text{effectif cumuleˊ}& 60& 140& 180& 200\end{array}$$

2. La médiane. On a $N=200$, donc $\frac{N}{2}=100$. Le cumul vaut $60$ à $1800$ € et $140$ à $2100$ € : c'est dans la classe $[1800;2100[$ que le cumul franchit $100$.

Dans cette classe, il y a $80$ employés répartis uniformément sur une largeur de $300$ €. Il faut aller chercher $100-60=40$ employés parmi ces $80$, soit la fraction $\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$ de la classe : $$M\approx 1800+\frac{40}{80}\times 300=1800+150=1950,$$ soit une médiane estimée à $1950$ €.

3. Le premier quartile. On a $\frac{N}{4}=50$. Le cumul atteint déjà $60\ge 50$ dès la première classe $[1500;1800[$, qui contient $60$ employés sur $300$ € de largeur : $$Q_1\approx 1500+\frac{50-0}{60}\times 300=1500+250=1750,$$ soit $1750$ €.

Le troisième quartile. On a $\frac{3N}{4}=150$. Le cumul vaut $140$ à $2100$ € et $180$ à $2400$ € : la classe cherchée est $[2100;2400[$, qui contient $40$ employés. $$Q_3\approx 2100+\frac{150-140}{40}\times 300=2100+\frac{10}{40}\times 300=2100+75=2175,$$ soit $2175$ €.

L'écart interquartile. $$Q_3-Q_1\approx 2175-1750=425,$$ soit environ $425$ €.

Lecture. La moitié des employés gagne moins de $1950$ € environ, et les $50$ % « centraux » se tiennent dans une fourchette d'environ $425$ €.