Reconstituer une série à partir de ses indicateurs

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 10 — Information chiffrée et statistique descriptive · Moyenne, médiane et quartiles

Énoncé

Une série est formée de sept nombres entiers. Sa médiane vaut $10$ , son étendue $12$ , sa moyenne $11$ , et sa plus petite valeur est $4$ .

Déterminer la plus grande valeur de la série.
Construire une série vérifiant toutes ces conditions.
Cette série est-elle unique ?

Corrigé

Les notations. Rangeons les sept valeurs dans l'ordre croissant : $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4} \leq a_{5} \leq a_{6} \leq a_{7} .$

1. La plus grande valeur. L'étendue est la différence entre le maximum et le minimum : $a_{7} - a_{1} = 12 et a_{1} = 4 ⟹ a_{7} = 16.$

Ce que donnent les deux autres indicateurs. L'effectif $N = 7$ est impair, donc la médiane est la valeur de rang $\frac{7 + 1}{2} = 4$ : $a_{4} = 10.$ La moyenne vaut $11$ , donc la somme des sept valeurs vaut $7 \times 11 = 77.$

2. Une série possible. Il reste à choisir $a_{2}, a_{3}, a_{5}, a_{6}$ avec $a_{2} + a_{3} + a_{5} + a_{6} = 77 - a_{1} - a_{4} - a_{7} = 77 - 4 - 10 - 16 = 47,$ en respectant $4 \leq a_{2} \leq a_{3} \leq 10 \leq a_{5} \leq a_{6} \leq 16$ .

Prenons $a_{2} = 8$ , $a_{3} = 9$ , $a_{5} = 14$ , $a_{6} = 16$ : leur somme vaut $8 + 9 + 14 + 16 = 47$ ✔, et l'ordre est respecté. La série $4; 8; 9; 10; 14; 16; 16$ convient. Vérification : minimum $4$ , maximum $16$ , étendue $12$ ✔ ; quatrième valeur $10$ ✔ ; somme $4 + 8 + 9 + 10 + 14 + 16 + 16 = 77$ , moyenne $11$ ✔.

3. L'unicité. La série n'est pas unique. Par exemple $4; 5; 10; 10; 16; 16; 16$ a pour somme $4 + 5 + 10 + 10 + 16 + 16 + 16 = 77$ , pour médiane $10$ , pour minimum $4$ et pour maximum $16$ : elle vérifie exactement les mêmes conditions.

Conclusion. Quatre indicateurs ne suffisent pas à déterminer une série : ils la résument, ils ne la remplacent pas.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.