Un écart type, puis l'effet d'une valeur moyenne

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 10 — Information chiffrée et statistique descriptive · Écart type et robustesse des indicateurs

Énoncé

On considère la série $2; 4; 4; 6; 9$ .

Calculer sa moyenne, sa variance, puis son écart type arrondi au centième.
On ajoute à la série la valeur $5$ . La moyenne change-t-elle ? Et l'écart type ? Justifier par le calcul.

Corrigé

1. La moyenne. $x ˉ = \frac{2 + 4 + 4 + 6 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5.$

La variance. On calcule les écarts à la moyenne, puis leurs carrés : $2 - 5 = - 3, 4 - 5 = - 1, 4 - 5 = - 1, 6 - 5 = 1, 9 - 5 = 4,$ $V = \frac{( - 3 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2} + 4 ^{2}}{5} = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 16}{5} = \frac{28}{5} = 5, 6.$

L'écart type. $σ = 5, 6 \approx 2, 37.$

2. Après l'ajout de $5$ . La nouvelle série est $2; 4; 4; 5; 6; 9$ , d'effectif $6$ .

La moyenne ne change pas : $x ˉ^{'} = \frac{25 + 5}{6} = \frac{30}{6} = 5.$ C'est logique : on a ajouté une valeur égale à la moyenne, ce qui ne déplace pas le « centre de gravité » de la série.

L'écart type, lui, change. La nouvelle valeur ajoute un écart nul, donc la somme des carrés reste $28$ , mais elle est maintenant divisée par $6$ : $V^{'} = \frac{28 + 0}{6} = \frac{14}{3} \approx 4, 67, σ^{'} = \frac{14}{3} \approx 2, 16.$

Conclusion. L'écart type a diminué ( $2, 16$ contre $2, 37$ ) : ajouter une valeur au centre resserre la série autour de sa moyenne, sans déplacer celle-ci.

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