Deux hôpitaux, deux lectures des mêmes chiffres

1. Taux global de $A$ : le nombre total de guérisons est $810+30=840$, pour $1000$ patients : $$\frac{840}{1000}=0,84=84\%.$$ Taux global de $B$ : $95+315=410$ guérisons pour $1000$ patients : $$\frac{410}{1000}=0,41=41\%.$$ Vu ainsi, $A$ paraît deux fois meilleur que $B$.

2. On change d'ensemble de référence : on ne divise plus par le total de l'hôpital, mais par le total de chaque type de cas.

Hôpital $A$, cas bénins : $\frac{810}{900}=0,90=90\%$ ; cas graves : $\frac{30}{100}=0,30=30\%$.

Hôpital $B$, cas bénins : $\frac{95}{100}=0,95=95\%$ ; cas graves : $\frac{315}{900}=0,35=35\%$.

3. Il n'y a aucune contradiction arithmétique : les six pourcentages sont exacts, mais ils ne portent pas sur les mêmes ensembles de référence.

L'hôpital $B$ est meilleur sur chacun des deux types de cas ($95\%>90\%$ pour les cas bénins, $35\%>30\%$ pour les cas graves), et pourtant son taux global est plus faible. La raison tient à la composition de sa patientèle : $B$ traite $900$ cas graves sur $1000$, contre $100$ seulement pour $A$. Or les cas graves guérissent bien moins souvent, quel que soit l'hôpital. Le taux global de $B$ est donc tiré vers le bas par la difficulté des cas qu'il prend en charge, pas par la qualité de ses soins.

À état de santé donné, on a intérêt à se faire soigner à l'hôpital $B$. La leçon est générale : un pourcentage global mélange des sous-populations très différentes, et peut inverser la conclusion que donnent les pourcentages calculés sous-population par sous-population.

Contrôle : si $B$ avait la même composition que $A$ ($900$ cas bénins et $100$ graves) avec ses propres taux, il obtiendrait $0,95\times 900+0,35\times 100=855+35=890$ guérisons, soit $89\%$ — devant les $84\%$ de $A$.