Remonter à l'effectif total

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 11 — Croisement de deux variables qualitatives · Fréquences marginales et fréquences conditionnelles

Énoncé

Dans un village, $30$ % des habitants sont abonnés à la fibre. Parmi les abonnés, $70$ % se déclarent satisfaits ; parmi les non-abonnés, $20$ % souhaitent s'abonner. On sait par ailleurs qu'il y a exactement $63$ abonnés satisfaits.

Déterminer le nombre d'habitants du village.
Combien de non-abonnés souhaitent s'abonner ?

Corrigé

1. L'effectif total. Notons $N$ le nombre d'habitants.

Les abonnés représentent $30$ % de la population, soit $0, 30 N$ personnes. Parmi eux, $70$ % sont satisfaits : le nombre d'abonnés satisfaits vaut donc $0, 70 \times 0, 30 N = 0, 21 N .$

⚠️ Le point délicat. Les $70$ % ne portent pas sur l'ensemble du village, mais sur les seuls abonnés : c'est un pourcentage d'un pourcentage, et les deux taux se multiplient.

L'énoncé donne $0, 21 N = 63$ , d'où $N = \frac{63}{0 , 21} = 300.$ Le village compte donc $300$ habitants.

2. Les candidats à l'abonnement. On calcule d'abord les deux groupes : $abonn e ˊ s : 0, 30 \times 300 = 90, non-abonn e ˊ s : 300 - 90 = 210.$ Les $20$ % portent sur les non-abonnés : $0, 20 \times 210 = 42.$ Il y a donc $42$ non-abonnés souhaitant s'abonner.

Contrôles. Les abonnés satisfaits sont $0, 70 \times 90 = 63$ ✔, ce qui redonne bien la donnée de l'énoncé. Et $63$ représente $\frac{63}{300} = 21$ % de la population totale, conforme au coefficient $0, 21$ trouvé plus haut ✔.

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