Si la proportion était la même partout

Croisement de deux variables qualitatives · Répartitions conditionnelles et dépendance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une commune compte $1000$ habitants : $600$ vivent en ville et $400$ à la campagne. Par ailleurs, $400$ habitants possèdent un vélo.

On suppose d'abord que la proportion de possesseurs de vélo est la même en ville et à la campagne. Quel serait alors l'effectif de chacune des quatre cases du tableau croisé ?
L'enquête réelle dénombre $300$ citadins possédant un vélo. Recalculer les quatre cases, puis les deux proportions de possesseurs, en ville et à la campagne.
Que peut-on conclure ?

Corrigé

1. Si la proportion est la même partout, elle vaut nécessairement la proportion globale : $\frac{400}{1 000} = 0, 40 = 40 %.$ On applique alors ce même taux à chaque lieu :

en ville : $0, 40 \times 600 = 240$ possesseurs, donc $600 - 240 = 360$ non-possesseurs ;

à la campagne : $0, 40 \times 400 = 160$ possesseurs, donc $400 - 160 = 240$ non-possesseurs.

Contrôle des marges : possesseurs $240 + 160 = 400$ ; non-possesseurs $360 + 240 = 600$ ; total $1000$ . Tout concorde.

2. L'enquête donne $300$ citadins possesseurs. On complète alors par soustraction :

en ville : $300$ possesseurs, $600 - 300 = 300$ non-possesseurs, total $600$ ;

à la campagne : $400 - 300 = 100$ possesseurs, $400 - 100 = 300$ non-possesseurs, total $400$ .

Contrôle des marges : possesseurs $300 + 100 = 400$ ; non-possesseurs $300 + 300 = 600$ ; total $1000$ .

Les proportions conditionnelles sont alors $en ville : \frac{300}{600} = 0, 50 = 50 %, a ˋ la campagne : \frac{100}{400} = 0, 25 = 25 %.$

3. Les deux proportions réelles, $50 %$ et $25 %$ , s'écartent nettement du $40 %$ commun qu'on obtiendrait si le lieu de résidence ne jouait aucun rôle : il y a $60$ possesseurs de plus que prévu en ville, et autant de moins à la campagne.

Dans cette commune, la possession d'un vélo dépend donc du lieu de résidence : elle est deux fois plus fréquente en ville qu'à la campagne. Remarquons que la fréquence marginale ( $40 %$ ) est inchangée entre les deux tableaux : c'est bien la répartition à l'intérieur des groupes, et non le total, qui porte l'information.