Soixante-dix pour cent des cadres, ou des femmes ?

Les deux affirmations en jeu. « $70$ % des cadres sont des femmes » se calcule en divisant par le nombre de cadres. « $70$ % des femmes sont cadres » se calculerait en divisant par le nombre de femmes. Les deux ensembles de référence sont différents : rien ne dit que les deux quotients coïncident.

Un exemple chiffré. Prenons une entreprise de $200$ employés, dont $40$ cadres.

• Femmes : $0,60\times 200=120$ ; hommes : $80$.
• Femmes cadres : $0,70\times 40=28$ ; hommes cadres : $12$.
• Femmes non cadres : $120-28=92$ ; hommes non cadres : $80-12=68$.

$$\begin{array}{lccc}& \text{Cadres}& \text{Non-cadres}& \text{Total}\\ \text{Femmes}& 28& 92& 120\\ \text{Hommes}& 12& 68& 80\\ \text{Total}& 40& 160& 200\end{array}$$

Le calcul qui tranche. La proportion de cadres parmi les femmes vaut $$\frac{28}{120}\approx 0,233,$$ soit environ $23,3$ %, et non $70$ %. La conclusion de l'employé est donc bien fausse.

Pourquoi un tel écart. Les femmes sont beaucoup plus nombreuses ($120$) que les cadres ($40$) : diviser le même nombre $28$ par $120$ ou par $40$ ne peut pas donner le même résultat.

Contrôle. Chez les hommes, la proportion de cadres vaut $\frac{12}{80}=15$ % : les femmes de cette entreprise sont donc bien un peu plus souvent cadres que les hommes, mais très loin des $70$ % annoncés.