Deux probabilités conditionnelles à distinguer

Les notations. Soit $F$ « l'élève est une fille » et $T$ « l'élève fait du théâtre ». Le choix est au hasard parmi $400$ élèves, donc chaque élève a la probabilité $\frac{1}{400}$.

Théâtre sachant fille. L'ensemble de référence est celui des $240$ filles, parmi lesquelles $60$ font du théâtre : $$P_F(T)=\frac{60}{240}=0,25,$$ soit $25$ %.

Fille sachant théâtre. L'ensemble de référence change : ce sont maintenant les $100$ élèves inscrits au théâtre, dont $60$ sont des filles. $$P_T(F)=\frac{60}{100}=0,60,$$ soit $60$ %.

⚠️ Deux questions différentes. Le numérateur est le même dans les deux calculs (les $60$ filles faisant du théâtre), mais le dénominateur change. « $25$ % des filles font du théâtre » et « $60$ % des comédiens sont des filles » ne disent pas la même chose ; les confondre est l'erreur d'inversion des conditionnements.

Contrôle par la formule. On a $P(F\cap T)=\frac{60}{400}=0,15$ et $P(F)=\frac{240}{400}=0,60$, donc $$P_F(T)=\frac{0,15}{0,60}=0,25,$$ ce qui redonne bien la première réponse ✔.