Deux tirages avec remise, calculés puis simulés

1. L'urne contient $10$ boules, dont $3$ rouges : à chaque tirage, $P(R)=\frac{3}{10}=0,3$ et $P(B)=\frac{7}{10}=0,7$.

La boule étant remise après le premier tirage, l'urne se retrouve dans son état initial : les probabilités du second tirage sont les mêmes que celles du premier, quel que soit le résultat du premier.

L'arbre comporte donc deux niveaux. Au premier, deux branches : $R$ pondérée $0,3$ et $B$ pondérée $0,7$. De chacun de ces deux nœuds repartent les deux mêmes branches, pondérées $0,3$ et $0,7$. Quatre chemins mènent aux quatre issues : $RR$, $RB$, $BR$, $BB$.

2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. $$P(RR)=0,3\times 0,3=0,09.$$ « Exactement une rouge » se réalise par deux chemins, $RB$ et $BR$ : $$P(RB)+P(BR)=0,3\times 0,7+0,7\times 0,3=0,21+0,21=0,42.$$

Cohérence : la quatrième issue, « aucune rouge », a pour probabilité $P(BB)=0,7\times 0,7=0,49$. La somme des trois cas vaut $$0,09+0,42+0,49=1,$$ ce qui confirme qu'aucune issue n'a été oubliée.

3. On simule un tirage par un entier au hasard entre $1$ et $10$ : les entiers de $1$ à $3$ représentent les boules rouges. Comme la boule est remise, les deux tirages se simulent exactement de la même façon.

import random

def un_tirage():
    if random.randint(1, 10) <= 3:
        return 1     # boule rouge
    return 0         # boule bleue

def deux_tirages():
    return un_tirage() + un_tirage()

La somme des deux appels vaut $2$ si les deux boules sont rouges, $1$ si une seule l'est, $0$ si aucune ne l'est : c'est bien le nombre de boules rouges obtenues.

4.

def frequence_deux_rouges(n):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if deux_tirages() == 2:
            succes = succes + 1
    return succes / n

La variable succes compte les répétitions ayant donné deux rouges ; on divise à la fin par le nombre $n$ de répétitions pour obtenir une fréquence.

D'après la loi des grands nombres, pour $n$ grand cette fréquence doit être proche de la probabilité calculée à la question $2$, soit $P(RR)=0,09$.