Deux tirages avec remise, calculés puis simulés

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 12 — Probabilités · Simuler une expérience aléatoire

Énoncé

Une urne contient $3$ boules rouges et $7$ boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde.

Construire l'arbre pondéré de cette expérience.
Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges, puis celle d'obtenir exactement une boule rouge. Vérifier la cohérence de l'ensemble.
Écrire une fonction Python deux_tirages() qui renvoie le nombre de boules rouges obtenues au cours de cette expérience (soit $0$ , soit $1$ , soit $2$ ).
Écrire une fonction frequence_deux_rouges(n) qui répète $n$ fois l'expérience et renvoie la fréquence des répétitions ayant donné deux boules rouges. De quel nombre son résultat doit-il être proche pour $n$ grand ?

Corrigé

1. L'urne contient $10$ boules, dont $3$ rouges : à chaque tirage, $P (R) = \frac{3}{10} = 0, 3$ et $P (B) = \frac{7}{10} = 0, 7$ .

La boule étant remise après le premier tirage, l'urne se retrouve dans son état initial : les probabilités du second tirage sont les mêmes que celles du premier, quel que soit le résultat du premier.

L'arbre comporte donc deux niveaux. Au premier, deux branches : $R$ pondérée $0, 3$ et $B$ pondérée $0, 7$ . De chacun de ces deux nœuds repartent les deux mêmes branches, pondérées $0, 3$ et $0, 7$ . Quatre chemins mènent aux quatre issues : $R R$ , $R B$ , $B R$ , $B B$ .

2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. $P (R R) = 0, 3 \times 0, 3 = 0, 09.$ « Exactement une rouge » se réalise par deux chemins, $R B$ et $B R$ : $P (R B) + P (B R) = 0, 3 \times 0, 7 + 0, 7 \times 0, 3 = 0, 21 + 0, 21 = 0, 42.$

Cohérence : la quatrième issue, « aucune rouge », a pour probabilité $P (B B) = 0, 7 \times 0, 7 = 0, 49$ . La somme des trois cas vaut $0, 09 + 0, 42 + 0, 49 = 1,$ ce qui confirme qu'aucune issue n'a été oubliée.

3. On simule un tirage par un entier au hasard entre $1$ et $10$ : les entiers de $1$ à $3$ représentent les boules rouges. Comme la boule est remise, les deux tirages se simulent exactement de la même façon.

import random

def un_tirage():
    if random.randint(1, 10) <= 3:
        return 1     # boule rouge
    return 0         # boule bleue

def deux_tirages():
    return un_tirage() + un_tirage()

La somme des deux appels vaut $2$ si les deux boules sont rouges, $1$ si une seule l'est, $0$ si aucune ne l'est : c'est bien le nombre de boules rouges obtenues.

def frequence_deux_rouges(n):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if deux_tirages() == 2:
            succes = succes + 1
    return succes / n

La variable succes compte les répétitions ayant donné deux rouges ; on divise à la fin par le nombre $n$ de répétitions pour obtenir une fréquence.

D'après la loi des grands nombres, pour $n$ grand cette fréquence doit être proche de la probabilité calculée à la question $2$ , soit $P (R R) = 0, 09$ .

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