La punaise, la fréquence et le modèle

1. La fréquence observée est le quotient du nombre de succès par le nombre de lancers : $$f=\frac{1240}{2000}=0,62=62\%.$$

2. Non. Une punaise n'a aucune symétrie qui permettrait de calculer cette probabilité, comme on le fait pour un dé équilibré. On ne peut que choisir un modèle en s'appuyant sur les fréquences observées : la loi des grands nombres affirme que, pour un grand nombre de lancers, la fréquence observée est proche de la probabilité — mais elle ne fournit pas cette probabilité, elle justifie seulement qu'on l'estime ainsi. La valeur $0,62$ est donc une hypothèse de modèle, pas un théorème.

3. L'arbre a deux niveaux, un par punaise. Au premier niveau, deux branches : « pointe en l'air » (notée $A$) de probabilité $0,62$, et « pointe au sol » (notée $\bar{A}$) de probabilité $1-0,62=0,38$. De chaque nœud du premier niveau partent les deux mêmes branches, avec les mêmes probabilités — les deux lancers étant sans influence l'un sur l'autre.

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches parcourues : $$P(\text{deux pointes en l’air})=0,62\times 0,62=0,3844.$$

« Exactement une pointe en l'air » se réalise par deux chemins : la première en l'air et la seconde au sol, ou l'inverse. On ajoute donc les deux produits : $$0,62\times 0,38+0,38\times 0,62=0,2356+0,2356=0,4712.$$

Contrôle : le troisième cas, « aucune pointe en l'air », a pour probabilité $0,38\times 0,38=0,1444$. La somme des trois cas vaut $0,3844+0,4712+0,1444=1$ : les trois événements couvrent bien toutes les issues.

4. La nouvelle fréquence vaut $$\frac{1198}{2000}=0,599,$$ soit $2,1$ points de moins que la précédente. Cela ne contredit pas le modèle : deux échantillons ne donnent jamais exactement la même fréquence, c'est la fluctuation d'échantillonnage. La loi des grands nombres annonce seulement que la fréquence est proche de la probabilité quand le nombre de répétitions est grand — et $0,599$ est effectivement proche de $0,62$.