Le dé choisit l'urne

1. L'arbre. Le premier niveau est le choix de l'urne, le second la couleur tirée. Notons $\text{Bl}$ l'événement « la boule est blanche ».

Les probabilités du premier niveau. Le dé est équilibré : $$P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Les probabilités conditionnelles du second niveau. Chaque urne contient $5$ boules : $$P_A(\text{Bl})=\frac{3}{5},P_B(\text{Bl})=\frac{1}{5}.$$

$$\begin{array}{lcc}\text{Chemin}& \text{Branches}& \text{Probabiliteˊ}\\ A\text{ puis blanche}& \frac{1}{3}\text{ et }\frac{3}{5}& \frac{3}{15}=\frac{1}{5}\\ A\text{ puis noire}& \frac{1}{3}\text{ et }\frac{2}{5}& \frac{2}{15}\\ B\text{ puis blanche}& \frac{2}{3}\text{ et }\frac{1}{5}& \frac{2}{15}\\ B\text{ puis noire}& \frac{2}{3}\text{ et }\frac{4}{5}& \frac{8}{15}\end{array}$$

Contrôle. $\frac{3}{15}+\frac{2}{15}+\frac{2}{15}+\frac{8}{15}=\frac{15}{15}=1$ ✔.

2. La probabilité de tirer une boule blanche. Deux chemins y mènent, et ils sont incompatibles : $$P(\text{Bl})=P(A\cap \text{Bl})+P(B\cap \text{Bl})=\frac{3}{15}+\frac{2}{15}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.$$

3. L'urne $A$ sachant que la boule est blanche. On applique la définition de la probabilité conditionnelle, en inversant le conditionnement : $$P_{\text{Bl}}(A)=\frac{P(A\cap \text{Bl})}{P(\text{Bl})}=\frac{\frac{3}{15}}{\frac{5}{15}}=\frac{3}{5}=0,6.$$

⚠️ Ne pas confondre. On a $P_A(\text{Bl})=\frac{3}{5}$ et $P_{\text{Bl}}(A)=\frac{3}{5}$ : ici les deux nombres coïncident par hasard, ce qui rend l'exemple trompeur. En revanche $P_B(\text{Bl})=\frac{1}{5}$ tandis que $P_{\text{Bl}}(B)=\frac{2/15}{5/15}=\frac{2}{5}$ : ces deux-là diffèrent bien.

Lecture. Bien que l'urne $A$ ne soit choisie qu'une fois sur trois, elle fournit $60$ % des boules blanches, parce qu'elle en est beaucoup plus riche.