Trois lancers d'une pièce

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 12 — Probabilités · Répétitions, tirages successifs et événement contraire

Énoncé

On lance trois fois de suite une pièce équilibrée et l'on note à chaque fois pile ( $P$ ) ou face ( $F$ ).

Combien l'univers compte-t-il d'issues ? Les lister.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins un pile.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux piles.

Corrigé

1. L'univers. À chaque lancer, deux résultats sont possibles, et les trois lancers sont indépendants : il y a $2 \times 2 \times 2 = 8 issues,$ que l'on peut lister dans l'ordre : $P P P, P P F, P F P, P F F, F P P, F P F, F F P, F F F .$ La pièce étant équilibrée, ces huit issues sont équiprobables, chacune de probabilité $\frac{1}{8}$ .

2. Au moins un pile. Le mot « au moins un » invite à passer par l'événement contraire : « aucun pile », c'est-à-dire « trois faces ». Une seule issue le réalise, $F F F$ : $P (aucun pile) = \frac{1}{8}, donc P (au moins un pile) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0, 875.$

Contrôle. Sept des huit issues comportent au moins un pile : toutes sauf $F F F$ ✔.

3. Exactement deux piles. On compte les issues comportant deux $P$ et un $F$ : $P P F, P F P, F P P,$ soit $3$ issues. Donc $P (exactement deux piles) = \frac{3}{8} = 0, 375.$

Contrôle global. En comptant les issues par nombre de piles : zéro pile ( $1$ issue), un pile ( $3$ ), deux piles ( $3$ ), trois piles ( $1$ ). Leur somme vaut $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ ✔, ce qui couvre bien tout l'univers.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.