Un dé pipé

1. Une loi de probabilité attribue à chaque issue un nombre positif, et la somme de toutes ces probabilités vaut $1$. Ici cinq faces valent $p$ chacune et la sixième vaut $3p$ : $$\underset{5p}{\underbrace{p+p+p+p+p}}+3p=1,\text{soit}8p=1.$$ D'où $$p=\frac{1}{8}=0,125\text{et}P(6)=3p=\frac{3}{8}=0,375.$$

2. L'événement « nombre pair » est composé des issues $2$, $4$ et $6$. Sa probabilité est la somme des probabilités de ces issues : $$P(\text{pair})=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}=0,625.$$ Le dé étant pipé, ce n'est pas $\frac{1}{2}$ : la face paire $6$ tire la probabilité vers le haut.

3. L'événement « nombre supérieur ou égal à $5$ » est composé des issues $5$ et $6$ : $$P(\ge 5)=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Contrôle : la somme des probabilités des six faces vaut $5\times \frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=1$. La loi est bien définie.

4. Les calculs des questions $1$ à $3$ sont des déductions rigoureuses, mais elles partent toutes d'une hypothèse de modèle : « les cinq premières faces sont équiprobables et la sixième est trois fois plus probable ». Cette hypothèse ne se démontre pas — elle décrit le dé, elle ne se déduit d'aucun théorème. Pour la mettre à l'épreuve, il faut lancer le dé un grand nombre de fois et comparer les fréquences observées aux probabilités du modèle : d'après la loi des grands nombres, sur un grand nombre de lancers la face $6$ devrait sortir dans environ $37,5\%$ des cas.