Un jeu gagnant à deux conditions

1. L'univers. Chaque lancer donne $P$ ou $F$, d'où $2^3=8$ issues équiprobables, chacune de probabilité $\frac{1}{8}$ : $$PPP,PPF,PFP,PFF,FPP,FPF,FFP,FFF.$$

2. La probabilité de gagner. Notons $I$ l'événement « les trois résultats sont identiques » et $U$ l'événement « le premier lancer donne pile ». Le joueur gagne si $I\cup U$ est réalisé.

L'événement $I$ est réalisé par $PPP$ et $FFF$, soit $2$ issues : $$P(I)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.$$

L'événement $U$ est réalisé par les quatre issues commençant par $P$, à savoir $PPP$, $PPF$, $PFP$, $PFF$ : $$P(U)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

L'intersection. Une issue à la fois identique partout et commençant par pile ne peut être que $PPP$ : $$P(I\cap U)=\frac{1}{8}.$$

La réunion. $$P(I\cup U)=P(I)+P(U)-P(I\cap U)=\frac{2}{8}+\frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}=0,625.$$

Contrôle par dénombrement. Les issues gagnantes sont $PPP$, $PPF$, $PFP$, $PFF$ et $FFF$, soit $5$ issues sur $8$ ✔. Les trois issues perdantes sont $FPP$, $FPF$ et $FFP$.

3. L'équité. Un jeu est équitable lorsque les deux joueurs ont la même probabilité de l'emporter, c'est-à-dire $\frac{1}{2}$ chacun. Ici le joueur gagne avec la probabilité $\frac{5}{8}=0,625>0,5$ : le jeu n'est pas équitable, il lui est favorable.

Remarque. Sans le terme $-P(I\cap U)$, on aurait annoncé $\frac{6}{8}=0,75$ : l'issue $PPP$, qui réalise les deux conditions à la fois, aurait été comptée deux fois.