Une roue à quatre secteurs

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 12 — Probabilités · Lois de probabilité et équiprobabilité

Énoncé

Une roue de loterie comporte quatre secteurs $A$ , $B$ , $C$ et $D$ . On sait que $P (A) = 0, 3$ , que $P (B) = 0, 25$ et que $P (C) = 2 \times P (D)$ .

Calculer $P (C)$ et $P (D)$ .
Calculer la probabilité d'obtenir le secteur $A$ ou le secteur $C$ .

Corrigé

Ce qui définit une loi de probabilité. Les quatre secteurs forment toutes les issues possibles, donc la somme de leurs probabilités vaut $1$ : $P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1.$

1. Les deux probabilités inconnues. En remplaçant ce qui est connu : $0, 3 + 0, 25 + P (C) + P (D) = 1 ⟺ P (C) + P (D) = 1 - 0, 55 = 0, 45.$ Or $P (C) = 2 P (D)$ , donc $2 P (D) + P (D) = 0, 45 ⟺ 3 P (D) = 0, 45 ⟺ P (D) = 0, 15.$ Et alors $P (C) = 2 \times 0, 15 = 0, 30.$

Contrôle. $0, 3 + 0, 25 + 0, 30 + 0, 15 = 1$ ✔.

2. Le secteur $A$ ou le secteur $C$ . La roue s'arrête sur un seul secteur : les événements « obtenir $A$ » et « obtenir $C$ » sont incompatibles, on peut donc additionner sans rien retrancher. $P (A \cup C) = 0, 30 + 0, 30 = 0, 60.$

Remarque. La loi n'est pas équiprobable : si elle l'était, chaque secteur aurait la probabilité $\frac{1}{4} = 0, 25$ . Ici les secteurs $A$ et $C$ sont plus larges, et $D$ nettement plus étroit.

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