Cinq expressions et leur parité

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 2 — Arithmétique · Nombres pairs et nombres impairs

Énoncé

Soit $n$ un entier. Pour chacune des expressions suivantes, dire si elle est toujours paire, toujours impaire, ou si sa parité dépend de $n$ ; justifier : $2 n, 2 n + 1, n + n, 3 n, n (n + 1) .$

Corrigé

$2 n$ : toujours paire. C'est exactement la définition d'un nombre pair : $2 \times (entier)$ .

$2 n + 1$ : toujours impaire. C'est la définition d'un nombre impair.

$n + n$ : toujours paire. En effet $n + n = 2 n$ : c'est la même expression que la première.

$3 n$ : la parité dépend de $n$ . Si $n = 2 k$ est pair, $3 n = 6 k = 2 (3 k)$ est pair ; si $n = 2 k + 1$ est impair, $3 n = 6 k + 3 = 2 (3 k + 1) + 1$ est impair. Ainsi $3 n$ a toujours la même parité que $n$ . Exemples : $3 \times 4 = 12$ (pair), $3 \times 5 = 15$ (impair).

$n (n + 1)$ : toujours paire. C'est le produit de deux entiers consécutifs. Si $n$ est pair, le produit l'est ; si $n$ est impair, alors $n + 1$ est pair et le produit l'est encore. Dans les deux cas, le produit est pair. Exemples : $3 \times 4 = 12$ , $4 \times 5 = 20$ .

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