Deux phares qui s'allument ensemble

Modélisation. Le premier phare s'allume aux instants qui sont des multiples de $12$ : $0$, $12$, $24$, $36$, $48$, $60$, … Le second s'allume aux multiples de $18$ : $0$, $18$, $36$, $54$, $72$, …

Un allumage simultané a lieu à un instant qui est à la fois un multiple de $12$ et un multiple de $18$.

Le premier instant commun. En comparant les deux listes, le premier multiple commun strictement positif est $$36\text{ secondes}(36=12\times 3=18\times 2).$$ Ce n'est pas $24$ (qui n'est pas multiple de $18$), ni $18$ (qui n'est pas multiple de $12$).

Les instants suivants. Tout instant commun est un multiple de $36$ : en effet, les instants communs sont les multiples communs de $12$ et de $18$, et ce sont exactement les multiples du plus petit d'entre eux, $36$. Les allumages simultanés ont donc lieu à $36$, $72$, $108$, … secondes.

Pendant une heure. Une heure vaut $3600$ secondes. On cherche le nombre de multiples de $36$ compris entre $1$ et $3600$ : $$3600÷36=100.$$ Il y aura donc $100$ allumages simultanés durant la première heure (le dernier ayant lieu exactement à $3600$ s, soit au bout d'une heure pile).