Le carré d'un impair diminué de un

Écriture de l'hypothèse. Puisque $n$ est impair, il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$.

Calcul de $n^2-1$. $$n^2-1=(2k+1{)}^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k(k+1).$$

L'argument décisif. Le produit $k(k+1)$ est le produit de deux entiers consécutifs : l'un des deux est nécessairement pair. En effet, si $k$ est pair, le produit l'est ; si $k$ est impair, alors $k+1$ est pair et le produit l'est encore. Il existe donc un entier $m$ tel que $$k(k+1)=2m.$$

Conclusion. $$n^2-1=4\times k(k+1)=4\times 2m=8m,$$ avec $m$ entier : $n^2-1$ est bien un multiple de $8$.

Contrôle. Pour $n=7$ : $n^2-1=48=8\times 6$. Pour $n=9$ : $80=8\times 10$. Pour $n=11$ : $120=8\times 15$. À chaque fois, un multiple de $8$.