Les diviseurs communs à 84 et 60

Diviseurs de $84$. On essaie les entiers dans l'ordre et on note les paires de facteurs : $$84=1\times 84=2\times 42=3\times 28=4\times 21=6\times 14=7\times 12.$$ On peut s'arrêter après $7$, car $8\times 8=64<84$ et $10\times 10=100>84$ : au-delà de $9$, on retrouverait les mêmes paires dans l'autre sens (et ni $5$, ni $8$, ni $9$ ne divisent $84$). D'où $$\{1;2;3;4;6;7;12;14;21;28;42;84\}(12\text{ diviseurs}).$$

Diviseurs de $60$. $$60=1\times 60=2\times 30=3\times 20=4\times 15=5\times 12=6\times 10,$$ d'où $$\{1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60\}(12\text{ diviseurs}).$$

Diviseurs communs. On compare les deux listes : $$1,2,3,4,6,12.$$ Le plus grand diviseur commun est donc $12$.

Contrôle. $84=12\times 7$ et $60=12\times 5$ : $12$ divise bien les deux. Et $14$, par exemple, divise $84$ mais pas $60$ ($60=14\times 4+4$).