Quatre affirmations sur la parité

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 2 — Arithmétique · Parité : démonstrations

Énoncé

Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ? La démontrer, ou donner un contre-exemple. (a) la somme d'un pair et d'un impair est impaire ; (b) le produit de deux pairs est un multiple de $4$ ; (c) si $n$ est pair, $n^{2}$ est un multiple de $4$ ; (d) si $n^{2}$ est un multiple de $4$ , $n$ est un multiple de $4$ .

Corrigé

(a) Vraie. Soit $n = 2 k$ un nombre pair et $m = 2 k^{'} + 1$ un nombre impair. Alors $n + m = 2 k + 2 k^{'} + 1 = 2 (k + k^{'}) + 1,$ qui est de la forme $2 \times (entier) + 1$ : la somme est impaire.

(b) Vraie. Soit $n = 2 k$ et $m = 2 k^{'}$ deux nombres pairs. Alors $n \times m = 2 k \times 2 k^{'} = 4 k k^{'},$ et $k k^{'}$ est un entier : le produit est un multiple de $4$ .

(c) Vraie. C'est le cas particulier $m = n$ de la question précédente : si $n = 2 k$ , alors $n^{2} = (2 k)^{2} = 4 k^{2},$ qui est un multiple de $4$ .

(d) Fausse. Prenons $n = 2$ . Alors $n^{2} = 4$ , qui est bien un multiple de $4$ ; pourtant $2$ n'est pas un multiple de $4$ . Autre contre-exemple : $n = 6$ donne $n^{2} = 36 = 4 \times 9$ , alors que $6$ n'est pas multiple de $4$ .

Ce qu'il faut retenir. Les affirmations (c) et (d) sont réciproques l'une de l'autre : l'une est vraie, l'autre non. Une implication et sa réciproque doivent toujours être examinées séparément.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.