Trente-six carreaux en lignes et colonnes

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 2 — Arithmétique · Multiples et diviseurs

Énoncé

On dispose de $36$ carreaux carrés identiques que l'on veut ranger en un rectangle formé de lignes et de colonnes complètes. Donner tous les couples possibles (nombre de lignes ; nombre de colonnes). Quel est le lien avec les diviseurs de $36$ ?

Corrigé

Ce que traduit la condition. Si le rectangle a $ℓ$ lignes et $c$ colonnes, alors $ℓ \times c = 36$ . Le nombre de lignes doit donc être un diviseur de $36$ .

Les diviseurs de $36$ . $36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6,$ soit $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $9$ , $12$ , $18$ , $36$ : neuf diviseurs.

Les couples possibles. À chaque diviseur correspond un rangement : $(1; 36), (2; 18), (3; 12), (4; 9), (6; 6), (9; 4), (12; 3), (18; 2), (36; 1) .$ Il y a donc neuf rangements possibles, autant que de diviseurs de $36$ .

Remarque. Le rangement $(6; 6)$ est le seul qui donne un carré ; c'est celui où le diviseur est égal à son « partenaire ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.