Trois entiers consécutifs, puis quatre

1. Trois entiers consécutifs. Notons-les $n$, $n+1$ et $n+2$, où $n$ est un entier. Leur somme vaut $$n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1).$$ Comme $n+1$ est un entier, la somme est un multiple de $3$.

Contrôle. $7+8+9=24=3\times 8$, et $8=7+1$ : la formule est bien vérifiée.

2. Quatre entiers consécutifs. Notons-les $n$, $n+1$, $n+2$ et $n+3$. Leur somme vaut $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6.$$ Ce nombre est-il toujours un multiple de $4$ ? Prenons $n=0$ : la somme vaut $0+1+2+3=6$, et $6$ n'est pas un multiple de $4$ (car $4\times 1=4$ et $4\times 2=8$). La réponse est donc non.

Ce que l'on peut dire tout de même. $4n+6=2(2n+3)$ : la somme de quatre entiers consécutifs est toujours paire, mais jamais divisible par $4$, car $2n+3$ est impair.