Trois propriétés des multiples de sept

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 2 — Arithmétique · Diviseurs, multiples et critères de divisibilité

Énoncé

Soit $a$ et $b$ deux multiples de $7$ .

Démontrer que $3 a + 5 b$ est un multiple de $7$ .
Démontrer que $a^{2}$ est un multiple de $49$ .
Donner deux entiers dont la somme est un multiple de $7$ sans qu'aucun des deux ne soit un multiple de $7$ . Que peut-on en conclure ?

Corrigé

Point de départ. Dire que $a$ et $b$ sont des multiples de $7$ , c'est dire qu'il existe deux entiers $k$ et $k^{'}$ tels que $a = 7 k et b = 7 k^{'} .$

1. La combinaison $3 a + 5 b$ . $3 a + 5 b = 3 \times 7 k + 5 \times 7 k^{'} = 21 k + 35 k^{'} = 7 (3 k + 5 k^{'}) .$ Comme $3 k + 5 k^{'}$ est un entier, $3 a + 5 b$ s'écrit $7 \times (entier)$ : c'est un multiple de $7$ .

2. Le carré $a^{2}$ . $a^{2} = (7 k)^{2} = 49 k^{2} = 49 \times k^{2} .$ Comme $k^{2}$ est un entier, $a^{2}$ est un multiple de $49$ . (En particulier, il est aussi multiple de $7$ .)

3. La réciproque tombe. Prenons $a = 3$ et $b = 4$ . Alors $a + b = 7$ , qui est bien un multiple de $7$ ; pourtant ni $3$ ni $4$ n'est un multiple de $7$ .

Conclusion. L'implication « si $a$ et $b$ sont des multiples de $7$ , alors $a + b$ l'est » est vraie, mais sa réciproque est fausse : d'une somme multiple de $7$ , on ne peut rien déduire sur chacun des termes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.