Classer six nombres selon leur nature

Rappel. Un nombre est décimal s'il peut s'écrire $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ entier et $n$ entier naturel ; il est rationnel s'il peut s'écrire comme quotient de deux entiers.

$\frac{15}{6}$ : décimal. En simplifiant par $3$, $\frac{15}{6}=\frac{5}{2}=\frac{25}{10}=2,5$.

$\frac{5}{12}$ : rationnel non décimal. C'est un quotient d'entiers, donc un rationnel, et la fraction est déjà irréductible ($5$ est premier et ne divise pas $12$). Supposons qu'il soit décimal : on aurait $\frac{5}{12}=\frac{a}{10^n}$, donc $5\times 10^n=12a$. Le membre de droite est un multiple de $3$ ; le membre de gauche vaut $5\times 2^n\times 5^n$, dont aucun facteur n'est un multiple de $3$ — il n'est donc pas divisible par $3$. Contradiction : $\frac{5}{12}$ n'est pas décimal.

$\sqrt{16}$ : décimal. $\sqrt{16}=4$ car $4^2=16$ et $4\ge 0$ : c'est un entier, donc un décimal.

$\sqrt{2}+1$ : irrationnel. Supposons-le rationnel, égal à un certain rationnel $q$. Alors $\sqrt{2}=q-1$ serait rationnel (différence de deux rationnels), ce qui contredit l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Donc $\sqrt{2}+1$ est irrationnel.

$0,25$ : décimal. $0,25=\frac{25}{100}$, qui est bien de la forme $\frac{a}{10^n}$.

$\frac{22}{7}$ : rationnel non décimal. C'est un quotient d'entiers, donc un rationnel, et la fraction est irréductible. S'il était décimal, on aurait $22\times 10^n=7a$, donc $7$ diviserait $22\times 10^n=2^{n+1}\times 5^n\times 11$ : impossible, aucun de ces facteurs n'étant divisible par $7$.

Attention. $\frac{22}{7}\approx 3,142857\dots$ est une valeur approchée célèbre de $\pi$, mais ce n'est pas $\pi$ : $\frac{22}{7}$ est rationnel, $\pi$ ne l'est pas.