Deux inéquations et l'intervalle commun

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 3 — Nombres réels · Intervalles : réunion, intersection, complémentaire

Énoncé

Résoudre chacune des inéquations $3 x - 5 \leq 2 x + 1$ et $- 2 x + 7 > 1$ , en donnant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. Déterminer ensuite l'ensemble des réels qui vérifient les deux inéquations en même temps.

Corrigé

Première inéquation. $3 x - 5 \leq 2 x + 1 ⟺ 3 x - 2 x \leq 1 + 5 ⟺ x \leq 6.$ L'ensemble des solutions est $S_{1} =] - \infty; 6]$ .

Deuxième inéquation. $- 2 x + 7 > 1 ⟺ - 2 x > 1 - 7 ⟺ - 2 x > - 6.$ On divise par $- 2$ , qui est négatif : le sens de l'inégalité change. $x < \frac{- 6}{- 2} = 3.$ L'ensemble des solutions est $S_{2} =] - \infty; 3 [$ .

Contrôle. Pour $x = 0$ : $- 2 \times 0 + 7 = 7 > 1$ ✔, et $0 < 3$ ✔. Pour $x = 4$ : $- 8 + 7 = - 1 > 1$ est faux ✔, et $4 < 3$ est faux : cohérent.

Les deux à la fois. On cherche $S_{1} \cap S_{2}$ , c'est-à-dire $x \leq 6$ et $x < 3$ . La condition $x < 3$ est la plus contraignante : $S_{1} \cap S_{2} =] - \infty; 3 [.$

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.