L'irrationalité de racine de trois

Supposons $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ irréductible. Alors $p^2=3q^2$, donc $p^2$ est multiple de $3$, ce qui entraîne (indication) que $p$ est multiple de $3$ : $p=3k$. On obtient $9k^2=3q^2$, soit $q^2=3k^2$ : $q^2$, puis $q$, sont multiples de $3$. Alors $p$ et $q$ sont tous deux divisibles par $3$, ce qui contredit l'irréductibilité de $\frac{p}{q}$. Donc $\sqrt{3}$ est irrationnel.