Quatre intersections, dont deux sont vides

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 3 — Nombres réels · Intervalles : réunion, intersection, complémentaire

Énoncé

Déterminer $A \cap B$ dans chacun des cas suivants : (a) $A =] - \infty; 2]$ et $B = [2; + \infty [$ ; (b) $A =] 0; 1 [$ et $B = [1; 5]$ ; (c) $A = [- 5; 0]$ et $B = [- 2; 3 [$ ; (d) $A =] - \infty; - 1 [$ et $B =] - 1; + \infty [$ .

Corrigé

(a) On cherche les réels vérifiant $x \leq 2$ et $x \geq 2$ . Seul $x = 2$ convient : $A \cap B = {2} .$ L'intersection n'est pas vide, car la borne $2$ est fermée des deux côtés.

(b) On cherche les réels vérifiant $0 < x < 1$ et $1 \leq x \leq 5$ . La première condition impose $x < 1$ , la seconde $x \geq 1$ : c'est impossible. Donc $A \cap B = \emptyset.$

(c) On cherche $- 5 \leq x \leq 0$ et $- 2 \leq x < 3$ . La borne inférieure la plus contraignante est $- 2$ , la borne supérieure la plus contraignante est $0$ : $A \cap B = [- 2; 0] .$ Les deux bornes sont fermées : $- 2$ l'est dans $B$ , $0$ l'est dans $A$ .

(d) On cherche $x < - 1$ et $x > - 1$ : c'est impossible, et la valeur $- 1$ elle-même est exclue des deux côtés. Donc $A \cap B = \emptyset.$

À retenir. Les cas (a) et (d) ne diffèrent que par le caractère ouvert ou fermé des bornes, et pourtant les réponses sont radicalement différentes.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.