Réunion, différence et complémentaire

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 3 — Nombres réels · Intervalles : réunion, intersection, complémentaire

Énoncé

Soit $A = [- 2; 3]$ et $B =] 0; 5 [$ , deux parties de $R$ . Déterminer :

$A \cap B$ et $A \cup B$ ;
l'ensemble des réels qui n'appartiennent pas à $A$ , écrit comme réunion de deux intervalles ;
l'ensemble des réels appartenant à $A$ mais pas à $B$ .

Corrigé

1. Intersection et réunion. Un réel de $A \cap B$ vérifie $- 2 \leq x \leq 3$ et $0 < x < 5$ : les conditions retenues sont $x > 0$ et $x \leq 3$ , donc $A \cap B =] 0; 3] .$ Les deux intervalles se chevauchent, donc leur réunion est un intervalle allant de $- 2$ (fermé) à $5$ (ouvert) : $A \cup B = [- 2; 5 [.$

2. Le complémentaire de $A$ . Ne pas appartenir à $[- 2; 3]$ , c'est être strictement à gauche de $- 2$ ou strictement à droite de $3$ : $A =] - \infty; - 2 [\cup] 3; + \infty [.$ Les bornes deviennent ouvertes, puisque $- 2$ et $3$ appartiennent à $A$ .

3. Dans $A$ mais pas dans $B$ . Il faut $- 2 \leq x \leq 3$ et ne pas avoir $0 < x < 5$ , donc $x \leq 0$ ou $x \geq 5$ . La seconde possibilité est incompatible avec $x \leq 3$ . Il reste $- 2 \leq x \leq 0$ : $A ∖ B = [- 2; 0] .$ Le nombre $0$ y figure bien, car il appartient à $A$ et pas à $B$ (borne ouverte).

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