Comparer deux expressions par leur différence

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 4 — Algèbre · Ordre, encadrements et comparaisons

Énoncé

Soit $x$ un réel. On pose $A = (x + 3)^{2}$ et $B = x^{2} + 9$ . Étudier le signe de $A - B$ et en déduire, selon les valeurs de $x$ , laquelle des deux quantités est la plus grande. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $A = B$ ?

Corrigé

Calcul de la différence. On développe $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ , donc $A - B = (x^{2} + 6 x + 9) - (x^{2} + 9) = x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} - 9 = 6 x .$

Signe de la différence. Le signe de $6 x$ est celui de $x$ :

si $x > 0$ , alors $A - B > 0$ , donc $A > B$ ;
si $x < 0$ , alors $A - B < 0$ , donc $A < B$ ;
si $x = 0$ , alors $A - B = 0$ , donc $A = B$ .

Réponse à la dernière question. L'égalité $A = B$ a lieu pour la seule valeur $x = 0$ .

Contrôles.

$x = 2$ : $A = 25$ et $B = 13$ , donc $A > B$ ✔ (et $A - B = 12 = 6 \times 2$ ).
$x = - 2$ : $A = 1$ et $B = 13$ , donc $A < B$ ✔ (et $A - B = - 12 = 6 \times (- 2)$ ).
$x = 0$ : $A = 9$ et $B = 9$ ✔.

Ce qu'il faut retenir. L'égalité $(x + 3)^{2} = x^{2} + 9$ est fausse en général : c'est le double produit $2 \times x \times 3 = 6 x$ qui fait toute la différence.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.