Un enclos rectangulaire et son périmètre

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 4 — Algèbre · Équations, inéquations et mise en équation

Énoncé

Un enclos rectangulaire a une longueur de $x$ mètres et une largeur de $x - 4$ mètres, avec $x > 4$ .

Exprimer son périmètre $P$ en fonction de $x$ .
Pour quelles valeurs de $x$ le périmètre est-il inférieur ou égal à $60$ m ?
Quelle est alors la plus grande longueur possible ? Donner les dimensions de l'enclos correspondant.

Corrigé

1. Le périmètre. Un rectangle de longueur $L$ et de largeur $ℓ$ a pour périmètre $2 (L + ℓ)$ . Ici $P = 2 (x + (x - 4)) = 2 (2 x - 4) = 4 x - 8.$

2. La contrainte. On résout $P \leq 60$ : $4 x - 8 \leq 60 ⟺ 4 x \leq 68 ⟺ x \leq 17.$ Il faut aussi tenir compte de la condition de l'énoncé, $x > 4$ (sans quoi la largeur $x - 4$ serait nulle ou négative). L'ensemble des valeurs possibles est donc $4 < x \leq 17.$

3. Le plus grand enclos. La plus grande longueur autorisée est $x = 17$ m. La largeur vaut alors $17 - 4 = 13$ m.

Contrôle. Le périmètre de ce rectangle est $2 \times (17 + 13) = 2 \times 30 = 60$ m : la contrainte est atteinte exactement, ce qui est cohérent avec l'inégalité large.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.