La région commune à deux inégalités

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Régions du plan et droites à paramètre

Énoncé

On considère l'ensemble $E$ des points $M (x; y)$ du plan vérifiant à la fois $y \geq x - 1$ et $y \leq - 2 x + 5$ .

Déterminer les coordonnées du point d'intersection des deux droites frontières.
Décrire précisément la région $E$ et expliquer comment la tracer.
Le point $P (0; 0)$ appartient-il à $E$ ? Et le point $Q (3; 3)$ ?

Corrigé

1. L'intersection des frontières. Les droites frontières ont pour équations $y = x - 1$ et $y = - 2 x + 5$ . Elles sont sécantes (pentes $1$ et $- 2$ ). On résout : $x - 1 = - 2 x + 5 ⟺ 3 x = 6 ⟺ x = 2, puis y = 2 - 1 = 1.$ Le point d'intersection est $S (2; 1)$ . Contrôle avec l'autre équation : $- 2 \times 2 + 5 = 1$ ✔.

2. La région. L'inégalité $y \geq x - 1$ décrit le demi-plan situé au-dessus (au sens large) de la droite $y = x - 1$ ; l'inégalité $y \leq - 2 x + 5$ décrit le demi-plan situé en dessous de la droite $y = - 2 x + 5$ . La région $E$ est l'intersection de ces deux demi-plans : c'est un secteur angulaire de sommet $S (2; 1)$ , ouvert vers la gauche, bords compris.

Pour la tracer : on trace les deux droites (par exemple $y = x - 1$ passe par $(0; - 1)$ et $(2; 1)$ ; $y = - 2 x + 5$ passe par $(0; 5)$ et $(2; 1)$ ), puis on hachure la zone qui est simultanément au-dessus de la première et en dessous de la seconde.

3. Les deux points.

$P (0; 0)$ : on teste $0 \geq 0 - 1$ , c'est-à-dire $0 \geq - 1$ : vrai ; puis $0 \leq - 2 \times 0 + 5$ , c'est-à-dire $0 \leq 5$ : vrai. Donc $P \in E$ .
$Q (3; 3)$ : on teste $3 \geq 3 - 1 = 2$ : vrai ; puis $3 \leq - 2 \times 3 + 5 = - 1$ : faux. Donc $Q \in / E$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.