La valeur du paramètre qui rend deux droites parallèles

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Droites particulières et paramètres

Énoncé

Soit $m$ un nombre réel. On considère les droites $(d_{1}) : y = (2 m + 1) x + 1 et (d_{2}) : 6 x - 2 y - 4 = 0.$

Déterminer l'équation réduite de $(d_{2})$ , puis sa pente.
Pour quelle valeur de $m$ les droites $(d_{1})$ et $(d_{2})$ sont-elles parallèles ? Sont-elles alors confondues ?
Pour $m = 0$ , déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d_{1})$ et $(d_{2})$ .

Corrigé

1. On isole $y$ dans l'équation de $(d_{2})$ : $6 x - 2 y - 4 = 0 ⟺ - 2 y = - 6 x + 4 ⟺ y = \frac{- 6 x + 4}{- 2} = 3 x - 2.$ L'équation réduite de $(d_{2})$ est donc $y = 3 x - 2$ : sa pente vaut $3$ et son ordonnée à l'origine $- 2$ .

2. Deux droites données par leur équation réduite sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. La pente de $(d_{1})$ est $2 m + 1$ , celle de $(d_{2})$ est $3$ : $2 m + 1 = 3 ⟺ 2 m = 2 ⟺ m = 1.$ Pour $m = 1$ , $(d_{1})$ a pour équation $y = 3 x + 1$ et $(d_{2})$ pour équation $y = 3 x - 2$ . Les pentes sont égales mais les ordonnées à l'origine diffèrent ( $1 \neq = - 2$ ) : les droites sont strictement parallèles, et non confondues. Pour toute autre valeur de $m$ , les pentes diffèrent et les droites sont sécantes.

3. Pour $m = 0$ , $(d_{1})$ a pour équation $y = (2 \times 0 + 1) x + 1 = x + 1$ . Un point commun à $(d_{1})$ et $(d_{2})$ a une ordonnée qui vérifie les deux équations : $x + 1 = 3 x - 2 ⟺ 1 + 2 = 3 x - x ⟺ 3 = 2 x ⟺ x = 1, 5.$ On reporte dans l'équation de $(d_{1})$ : $y = 1, 5 + 1 = 2, 5$ .

Le point d'intersection est $(1, 5; 2, 5)$ .

Vérification dans $(d_{2})$ : $3 \times 1, 5 - 2 = 4, 5 - 2 = 2, 5$ . On retrouve bien la même ordonnée, et $6 \times 1, 5 - 2 \times 2, 5 - 4 = 9 - 5 - 4 = 0$ .

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