La verticale et l'horizontale passant par un point

1. Une droite verticale (parallèle à l'axe des ordonnées) est formée des points dont l'abscisse est constante. Comme $A$ a pour abscisse $3$, cette droite est $$(v):x=3,\text{soit sous forme carteˊsienne}x-3=0.$$ Deux points de $(v)$ sont $A(3;-2)$ et $A^{\prime }(3;-1)$ ; le vecteur $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}(0;1)$ dirige donc $(v)$. Tout vecteur $\overrightarrow{u}(0;k)$ avec $k\ne 0$ convient également.

2. Une droite horizontale est formée des points dont l'ordonnée est constante. Comme $A$ a pour ordonnée $-2$ : $$(h):y=-2.$$ C'est déjà une équation réduite $y=mx+p$ avec $m=0$ et $p=-2$ : la pente est nulle. Un vecteur directeur est $\overrightarrow{v}(1;0)$ (quand on avance de $1$ en abscisse, l'ordonnée ne varie pas).

3. Une équation $y=mx+p$ associe à chaque valeur de $x$ une seule valeur de $y$. Or la droite $(v)$ contient tous les points d'abscisse $3$ : $(3;-2)$, $(3;0)$, $(3;100)$… À l'abscisse $3$ correspondent donc une infinité d'ordonnées, et à toute autre abscisse aucune. Aucune écriture $y=mx+p$ ne peut décrire cet ensemble : c'est pourquoi une droite verticale n'a pas de pente, et seulement une équation cartésienne ($x-3=0$, de la forme $ax+by+c=0$ avec $a=1$, $b=0$, $c=-3$).

4. $B(3;7)$ : son abscisse vaut $3$, donc $B$ vérifie $x=3$ : $B$ appartient à $(v)$.

$C(-1;-2)$ : son ordonnée vaut $-2$, donc $C$ vérifie $y=-2$ : $C$ appartient à $(h)$.