Parallèles, confondues ou sécantes

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Alignement et positions relatives

Énoncé

Étudier la position relative des deux droites dans chacun des cas suivants : (a) $(d_{1}) : y = 2 x - 1$ et $(d_{2}) : 4 x - 2 y + 6 = 0$ ; (b) $(d_{3}) : 3 x + y - 2 = 0$ et $(d_{4}) : - 6 x - 2 y + 4 = 0$ ; (c) $(d_{5}) : y = - x + 3$ et $(d_{6}) : y = 5 x - 1$ .

Corrigé

Méthode. On ramène chaque droite à son équation réduite, puis on compare les pentes : pentes différentes, les droites sont sécantes ; pentes égales et ordonnées à l'origine différentes, elles sont parallèles distinctes ; les deux égales, elles sont confondues.

(a) On transforme $(d_{2})$ : $4 x - 2 y + 6 = 0 ⟺ - 2 y = - 4 x - 6 ⟺ y = 2 x + 3.$ Les deux droites ont la même pente $2$ , mais des ordonnées à l'origine différentes ( $- 1$ et $3$ ) : elles sont parallèles et distinctes.

(b) On transforme les deux : $3 x + y - 2 = 0 ⟺ y = - 3 x + 2; - 6 x - 2 y + 4 = 0 ⟺ - 2 y = 6 x - 4 ⟺ y = - 3 x + 2.$ Les deux équations réduites sont identiques : les droites sont confondues. On pouvait le pressentir, car les coefficients de la seconde équation sont ceux de la première multipliés par $- 2$ .

(c) Les pentes valent $- 1$ et $5$ : elles sont différentes, donc les droites sont sécantes. Leur point d'intersection s'obtient en résolvant $- x + 3 = 5 x - 1$ , soit $6 x = 4$ , donc $x = \frac{2}{3}$ et $y = - \frac{2}{3} + 3 = \frac{7}{3}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.