Une famille de droites passant par un point fixe

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Régions du plan et droites à paramètre

Énoncé

Soit $m$ un nombre réel. On considère la droite $(d_{m})$ d'équation $y = m x + 3 - m$ .

Démontrer que, quelle que soit la valeur de $m$ , la droite $(d_{m})$ passe par le point $A (1; 3)$ .
Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle $(d_{m})$ passe par $B (4; - 3)$ .
Existe-t-il une valeur de $m$ pour laquelle $(d_{m})$ est parallèle à l'axe des abscisses ?

Corrigé

1. Le point fixe. On remplace $x$ par $1$ dans l'équation : $y = m \times 1 + 3 - m = m + 3 - m = 3.$ Le résultat est $3$ , quelle que soit la valeur de $m$ : le point de $(d_{m})$ d'abscisse $1$ a toujours pour ordonnée $3$ . Donc $A (1; 3)$ appartient à toutes les droites de la famille.

2. Passage par $B (4; - 3)$ . On écrit que les coordonnées de $B$ vérifient l'équation : $- 3 = m \times 4 + 3 - m = 3 m + 3.$ D'où $3 m = - 6$ , soit $m = - 2$ . Contrôle : pour $m = - 2$ , l'équation devient $y = - 2 x + 3 - (- 2) = - 2 x + 5$ . En $x = 4$ : $- 8 + 5 = - 3$ ✔ ; en $x = 1$ : $- 2 + 5 = 3$ ✔, le point fixe est bien conservé.

3. Une droite horizontale. Une droite est parallèle à l'axe des abscisses lorsque sa pente est nulle, c'est-à-dire lorsque $m = 0$ . L'équation devient alors $y = 0 \times x + 3 - 0 = 3,$ soit la droite horizontale d'équation $y = 3$ , qui passe évidemment par $A (1; 3)$ . La réponse est donc oui, pour $m = 0$ .

Remarque. Aucune droite de la famille n'est verticale, puisque toutes admettent une équation réduite $y = m x + p$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.