Une médiane et le centre de gravité

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 6 — Droites du plan · Intersections et problèmes

Énoncé

Dans un repère du plan, on donne $A (- 2; 1)$ , $B (4; 3)$ et $C (0; - 5)$ .

Déterminer les coordonnées du milieu $A^{'}$ de $[B C]$ .
Déterminer l'équation réduite de la médiane $(A A^{'})$ .
Le centre de gravité $G$ du triangle a pour coordonnées les moyennes des coordonnées des trois sommets. Calculer $G$ et vérifier qu'il appartient à $(A A^{'})$ .

Corrigé

1. Le milieu de $[B C]$ . $A^{'} (\frac{4 + 0}{2}; \frac{3 + ( - 5 )}{2}) = A^{'} (2; - 1) .$

2. L'équation de la médiane. La pente de $(A A^{'})$ vaut $m = \frac{- 1 - 1}{2 - ( - 2 )} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} .$ L'équation est de la forme $y = - \frac{1}{2} x + p$ . En écrivant que $A (- 2; 1)$ appartient à la droite : $1 = - \frac{1}{2} \times (- 2) + p = 1 + p, donc p = 0.$ D'où $(A A^{'}) : y = - \frac{1}{2} x .$ Contrôle avec $A^{'}$ : $- \frac{1}{2} \times 2 = - 1$ ✔. La médiane passe par l'origine du repère.

3. Le centre de gravité. $G (\frac{- 2 + 4 + 0}{3}; \frac{1 + 3 + ( - 5 )}{3}) = G (\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}) .$ On teste l'appartenance à $(A A^{'})$ : $- \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = - \frac{1}{3} .$ C'est bien l'ordonnée de $G$ : le centre de gravité appartient à la médiane $(A A^{'})$ , comme le veut la propriété du centre de gravité.

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