Le bénéfice d'un artisan, deux formes pour deux questions

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Modéliser une situation par une fonction

Énoncé

Un artisan fabrique $x$ pièces par semaine, avec $0 \leq x \leq 60$ . Son bénéfice hebdomadaire, en euros, est donné par $B (x) = (x - 10) (200 - 4 x) .$

Développer et réduire $B (x)$ .
Calculer $B (30)$ en choisissant la forme la plus commode, et justifier ce choix.
Pour quelles productions le bénéfice est-il nul ?
Dresser le tableau de signes de $B$ sur $[0; 60]$ , puis déterminer les productions pour lesquelles l'artisan gagne effectivement de l'argent.

Corrigé

1. On développe le produit : $B (x) = (x - 10) (200 - 4 x) = 200 x - 4 x^{2} - 2000 + 40 x = - 4 x^{2} + 240 x - 2 000.$

2. La forme factorisée demande deux soustractions et une multiplication, la forme développée un carré et trois opérations : la factorisée est ici la plus rapide. $B (30) = (30 - 10) (200 - 4 \times 30) = 20 \times (200 - 120) = 20 \times 80 = 1 600.$ Le bénéfice est de $1600$ € pour $30$ pièces.

Contrôle avec la forme développée : $- 4 \times 3 0^{2} + 240 \times 30 - 2000 = - 3600 + 7200 - 2000 = 1600$ . Les deux formes donnent bien le même nombre.

3. C'est ici la forme factorisée qui s'impose : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. $B (x) = 0 ⟺ x - 10 = 0 ou 200 - 4 x = 0 ⟺ x = 10 ou x = 50.$ (En effet $200 - 4 x = 0$ donne $4 x = 200$ , soit $x = 50$ .) Les deux valeurs appartiennent bien à $[0; 60]$ .

4. On étudie le signe de chaque facteur sur $[0; 60]$ .

$x - 10$ est affine de coefficient directeur $1 > 0$ : négatif pour $x < 10$ , positif pour $x > 10$ .

$200 - 4 x$ est affine de coefficient directeur $- 4 < 0$ : positif pour $x < 50$ , négatif pour $x > 50$ .

D'où le signe du produit :

sur $[0; 10 [$ : $(-) \times (+)$ , donc $B (x) < 0$ ;
sur $] 10; 50 [$ : $(+) \times (+)$ , donc $B (x) > 0$ ;
sur $] 50; 60]$ : $(+) \times (-)$ , donc $B (x) < 0$ ;
et $B (10) = B (50) = 0$ .

L'artisan réalise donc un bénéfice strictement positif exactement pour les productions comprises strictement entre $10$ et $50$ pièces.

Contrôle numérique : $B (0) = (- 10) \times 200 = - 2000 < 0$ ; $B (20) = 10 \times 120 = 1200 > 0$ ; $B (60) = 50 \times (200 - 240) = 50 \times (- 40) = - 2000 < 0$ . Les trois signes concordent.

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