Le bénéfice d'un artisan, deux formes pour deux questions

1. On développe le produit : $$B(x)=(x-10)(200-4x)=200x-4x^2-2000+40x=-4x^2+240x-2000.$$

2. La forme factorisée demande deux soustractions et une multiplication, la forme développée un carré et trois opérations : la factorisée est ici la plus rapide. $$B(30)=(30-10)(200-4\times 30)=20\times (200-120)=20\times 80=1600.$$ Le bénéfice est de $1600$ € pour $30$ pièces.

Contrôle avec la forme développée : $-4\times 30^2+240\times 30-2000=-3600+7200-2000=1600$. Les deux formes donnent bien le même nombre.

3. C'est ici la forme factorisée qui s'impose : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. $$B(x)=0⟺x-10=0\text{ ou }200-4x=0⟺x=10\text{ ou }x=50.$$ (En effet $200-4x=0$ donne $4x=200$, soit $x=50$.) Les deux valeurs appartiennent bien à $\left[0;60\right]$.

4. On étudie le signe de chaque facteur sur $\left[0;60\right]$.

$x-10$ est affine de coefficient directeur $1>0$ : négatif pour $x<10$, positif pour $x>10$.

$200-4x$ est affine de coefficient directeur $-4<0$ : positif pour $x<50$, négatif pour $x>50$.

D'où le signe du produit :

• sur $\left[0;10\right[$ : $(-)\times (+)$, donc $B(x)<0$ ;
• sur $\left]10;50\right[$ : $(+)\times (+)$, donc $B(x)>0$ ;
• sur $\left]50;60\right]$ : $(+)\times (-)$, donc $B(x)<0$ ;
• et $B(10)=B(50)=0$.

L'artisan réalise donc un bénéfice strictement positif exactement pour les productions comprises strictement entre $10$ et $50$ pièces.

Contrôle numérique : $B(0)=(-10)\times 200=-2000<0$ ; $B(20)=10\times 120=1200>0$ ; $B(60)=50\times (200-240)=50\times (-40)=-2000<0$. Les trois signes concordent.