Le coût moyen d'un objet fabriqué

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Modéliser une situation par une fonction

Énoncé

Un atelier fabrique chaque jour $x$ objets identiques, avec $x$ entier compris entre $1$ et $400$ . Le coût total de production, en euros, est donné par $C (x) = 2 x + 600$ . Le coût moyen d'un objet est alors $M (x) = \frac{2 x + 600}{x} .$

Expliquer pourquoi $M$ n'est pas définie en $0$ , et donner son ensemble de définition sur $R$ .
Calculer $M (50)$ , $M (200)$ et $M (400)$ .
Résoudre l'équation $M (x) = 8$ et interpréter le résultat.
Pour quelles productions le coût moyen est-il inférieur ou égal à $5$ € ?

Corrigé

1. Le quotient $\frac{2 x + 600}{x}$ n'a de sens que si son dénominateur est non nul : la division par $0$ est impossible. La seule valeur interdite est donc $x = 0$ , et $D_{M} =] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [.$ Cette exclusion a un sens concret : s'il n'y a aucun objet produit, parler d'un coût par objet n'a pas de sens. La situation impose de plus $x$ entier avec $1 \leq x \leq 400$ .

2. On applique la formule : $M (50) = \frac{2 \times 50 + 600}{50} = \frac{100 + 600}{50} = \frac{700}{50} = 14,$ $M (200) = \frac{400 + 600}{200} = \frac{1 000}{200} = 5,$ $M (400) = \frac{800 + 600}{400} = \frac{1 400}{400} = 3, 5.$ Le coût moyen vaut $14$ €, $5$ € et $3, 5$ € par objet respectivement : il diminue quand la production augmente, car les $600$ € de frais fixes se répartissent sur davantage d'objets.

3. Pour $x \neq = 0$ : $\frac{2 x + 600}{x} = 8 ⟺ 2 x + 600 = 8 x ⟺ 600 = 8 x - 2 x ⟺ 600 = 6 x ⟺ x = 100.$ (La multiplication des deux membres par $x$ est licite puisque $x \neq = 0$ .)

Il faut donc produire $100$ objets pour que chacun revienne à $8$ €.

Vérification : $M (100) = \frac{200 + 600}{100} = \frac{800}{100} = 8$ .

4. La production $x$ est strictement positive, ce qui permet de multiplier l'inéquation par $x$ sans changer son sens : $\frac{2 x + 600}{x} \leq 5 ⟺ 2 x + 600 \leq 5 x ⟺ 600 \leq 3 x ⟺ 200 \leq x .$ Compte tenu de la contrainte $x \leq 400$ , le coût moyen est inférieur ou égal à $5$ € pour les productions comprises entre $200$ et $400$ objets.

Vérification aux bornes : $M (200) = 5$ (valeur limite atteinte) et $M (400) = 3, 5 \leq 5$ ; en revanche $M (199) = \frac{398 + 600}{199} = \frac{998}{199} \approx 5, 015 > 5$ .

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